Trésor des travaux de A. R. D. Mathias
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ARTICLES SUR LES AXIOMATIQUES:
The Strength of Mac Lane Set Theory
Annals of Pure and Applied Logic, 110
(2001) 107--234. MR 2002g:03105
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(Une étude des systèmes formels ensemblistes liés
à la théorie des topos et à la théorie classique
des ensembles. Version preprint du 15 mars, 2001: 88 pages.) Un bref commentaire.
Slim models of Zermelo Set Theory
Journal of Symbolic Logic, 66
(2001) 487--496. MR 2003a:03076
.ps
.pdf
(Une exploration de la faiblesse du système original
de Zermelo pour faire les constructions récursives. 7 pages.)
A Term of Length 4,523,659,424,929 Synthèse, 133 (2002) 75-86;
MR 20014a:03009..ps
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(Un calcul du nombre des symboles demandé par la définition
bourbachique du nombre 1; auquel on doit ajouter
1,179,618,517,981 liens désambiguatoires. Les implications quant aux
aspirations philosophiques de Bourbaki sont discutées.)
Weak systems of Gandy, Jensen and Devlin
in Set Theory: Centre de Recerca Matemàtica, Barcelona 2003-4
edited by Joan Bagaria and Stevo Todorčević, Trends in Mathematics, Birkhäuser Verlag, Basel, 2006, 149-224.
Version preprint du 16.i.2006. .ps
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(contains a variety of constructions proving the
independence of various natural statements in various weak systems
of set theory and shedding light on flaws in Devlin's treatise
Constructibility. The first third of the paper
develops versions of the model building techniques of my paper Slim Models,
applicable to the systems considered in the paper. The heavily syntactic middle third of the paper examines the effect of adding the axiom ``the class of finite subsets of any set is a set" to the various systems proposed by Devlin and by Gandy; and closes with the suggestion that the addition, instead, of the slightly weaker form ``for each positive integer k the class of subsets of size k of any given set is a set", mightly be precisely the elusive optimal strengthing of Devlin's system BS for the purposes to hand. The final third returns to model-building mode to answer other questions about these systems.)
A note on the schemes of replacement and collection
Archive for Mathematical Logic, 46 (2007) 43-50.
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(derives all the axioms of ZF from a scheme that is apparently
weaker than either the collection or the replacement scheme.)
Epireflections and supercompact cardinals
(à paraître dans Journal of Pure and Applied Algebra )
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(with Joan Bagaria and Carles Casacuberta)
(Casacuberta and others have used Vopěnka's principle to prove that certain
functors admit representations by local functions. We weaken the set-theoretical hypothesis required, in the case that the functors satisfy stricter conditions than before. 15 pages,
available from the arXiv preprint data base at arXiv:math.CT/0703119.)
Unordered pairs in the set theory of Bourbaki 1949
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(We construct a supertransitive model of Bourbaki's 1949 system for set theory, which is a subsystem of Zermelo set theory less the pairing axiom but with axioms for ordered pairs and for cartesian products. In our model,
ordered pairs are available, and the corresponding cartesian product of two sets is a set, but there are failures of the principles that the unordered pair of two sets is a set and that the union of two sets is a set.)
TRAVAUX en cours SUR LES ENSEMBLES PROVIDENTS ET LE FORCING:
Rudimentary recursion and provident sets
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(We introduce the class of rudimentarily recursive functions,
and study those sets, which we call provident, which are transitive and closed under all rudimentarily recursive functions, allowing parameters from within the set in question. We identify a single rudimentary recursion, with parameter, to instances of which all others reduce; we obtain various characterizations of provident sets; and we find strong uniform bounds on the rate of growth of
rudimentarily recursive functions.
)
Provident sets and rudimentary set forcing
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(Using the theory of rudimentary recursion and provident sets developed in the previous paper, we give a treatment of set forcing appropriate for working over models of a theory PROVI which may plausibly claim to be the weakest set theory supporting a smooth theory of set forcing.
Much of the development is rudimentary or at worst given by rudimentary recursions with parameter the notion of forcing under consideration. Our development eschews the power set axiom. We show that the forcing relation for restricted wffs is propagated through our hierarchies by a rudimentary function, and we show that the construction of names for the values of rudimentary and rudimentarily recursive functions is similarly propagated.
Our main result is that a set-generic extension of a provident set is provident.
)
Set forcing over models of Zermelo or Mac Lane
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(We discuss the problem of forcing over a transitive model of Zermelo set theory, or alternatively of Mac Lane set theory. We identify difficulties when the model fails to be provident. We show that the provident closure of
a model of M or Z is itself a model of M or Z. We show that for provident models of these theories, the operations of forming generic extensions and lunes commute.)
ARTICLE SUR LES SYSTÈMES DYNAMIQUES:
Delays, recurrence and ordinals
Proceedings of the London Mathematical Society (3),
82 (2001) 257-298. MR 2001j:03087 .ps
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(On utilise
des idées de théorie des ensembles pour étudier les
systèmes dynamiques. On donne un exemple d'itération qui ne se stabilise
pas avant le premier ordinal non dénombrable. Dans l'espace de Baire et
dans l'espace de Cantor, on fournit pour chaque ordinal dénombrable
un exemple d'itération dont la convergence requiert un nombre d'étapes
égal à cet ordinal. On donne un exemple d'itération définie de
manière récursive, qui se stabilise au premier ordinal non récursif.
Enfin, on donne de nouveaux exemples d'ensembles analytiques complets.)
Recurrent points and hyperarithmetic sets MR 2000d:03097
.ps
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(Antérieur au précédent, mais contient quelques détails
et autres résultats n'y aparaissant pas. Dans:
Set Theory, Techniques and Applications, Curacao 1995 and
Barcelona 1996 conferences, edited by C. A. Di Prisco, Jean A. Larson,
Joan Bagaria and A. R. D. Mathias, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, Boston, London, 1998, 157--174.)
Choosing an attacker by a local derivation
Acta Universitatis Carolinae - Math. et Phys., 45 (2004) 59-65
.ps
.pdf
A scenario for tranferring high scores
Acta Universitatis Carolinae - Math. et Phys., 45 (2004) 67-73
.ps
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Analytic sets under attack
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,
138 (2005) 465-485.
.ps
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(résout des questions laissées ouvertes dans "Delays",
en construisant deux points recursifs, a et b , dans l'espace
de Baire, tels que, si on commence à partir du point a ,
le deuxième ensemble omega-limite dérivé
sera un ensemble analytique complet, tandis que le troisième sera vide;
par contre, si on commence à partir du point b
l'itération des ensembles
omega-limites dérivés se stabilise précisement au
premier ordinal non dénombrable, ce qui fournit encore un ensemble
analytique complet.)
ARTICLE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES:
On a conjecture of Erdős and Čudakov MR98i:11058
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(Résout un cas simple d'un problème difficile ouvert. 1 page.
Dans: Combinatorics,
Geometry and Probability: Proceedings of the conference
dedicated to Paul Erdős on the occasion of his 80th
birthday, edited by Bollobás Béla et al, Cambridge University
Press (1993), 487--488.)
ESSAIS EN SOCIOLOGIE DES MATHÉMATIQUES:
The Ignorance of Bourbaki Dans:
Mathematical Intelligencer 14 (1992) 4--13 MR 94a:03004b,
et aussi dans Physis Riv. Internaz. Storia Sci (N.S.) 28 (1991)
887--904, MR 94a:03004a. .ps
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(Un commentaire sur la position du groupe Bourbaki
à propos des fondements des mathématiques. 12 pages.
Une traduction en hongrois par András Racz se
trouve sous le titre Bourbaki tévútjai, dans A Természet Világa, 1998,
III. kűlőnszama.)
La Ignorancia de Bourbaki
(Une traduction en espagnol par José Maria Almira Picazo; dans La Gaceta de la Real Sociedad Matemàtica Española, 7, (2004), no. 3.)
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Further remarks on Bourbaki
(Une réponse aux critiques de l'article précédent
par le Professeur Sanford L. Segal. 7 pages)
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What is Mac Lane missing ? MR 94g:03010 .ps
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(Un commentaire sur la position de Saunders Mac Lane
à propos des fondements des mathématiques;
publié dans Set Theory of the
Continuum, ed. H. Judah, W.Just, H.Woodin; Mathematical Sciences Research
Institute Publications Volume 26, Springer-Verlag, 1992.)
Is Mathias an ontologist ? MR 94g:03011. .ps
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(La réponse de Saunders Mac Lane;
dans Set Theory of the
Continuum, ed. H. Judah, W.Just, H.Woodin; Mathematical Sciences Research
Institute Publications Volume 26, Springer-Verlag, 1992.)
Logic and Terror Physis Riv. Internaz.
Storia Sci (N.S.) 28 (1991) 557--578 MR 93d:03014,
.ps
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(Un récit sur l'état de la logique formelle
en Russie durant les quarante premières années de
régime Soviétique. 15 pages; paru
aussi, en forme plus courte, dans
Jahrb. Kurt-Gödel-Ges. (1990) 117--130 MR 92m:01039.)
Strong Statements of Analysis
Bulletin of the London Mathematical Society 32 (2000)
513-526..ps
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(Exemples de propositions naturelles concernant les
nombres irrationels qui sont équivalentes,
dans ZFC, à des hypothèses ensemblistes fortes.)
La liste des autres publications
de l'auteur est disponible, et ce site en anglais.
LIENS